|
Signum
je funkce, která záporným číslům přiřadí hodnotu
-1, nule přiřadí hodnotu 0 a kladným číslům přiřadí hodnotu 1. Značí se
symbolem sgn(x)
nebo
sign(x).
Absolutní
hodnota
je funkce definovaná předpisem
Značí se symbolem
abs(x) nebo
|x|.
Charakteristická funkce množiny M
je definována hodnotou 1 pro prvky množiny M a hodnotou
0 pro prvky neležící v M.
| |
f(x)= |
=1 |
x patří do M |
| =0 |
x nepatří do M |
Značí se symbolem
χM(x) (řecké písmeno chí s indexem M). V
obrázku je znázorněna charakteristická funkce množiny M=<-1,0>È
(1,¥).
Dirichletova
funkce
je charakteristickou funkcí množiny racionálních čísel.
Značí se symbolem
D(x).
Její graf nezle korektně sestrojit, protože v sebemenším intervalu nabývá v
nekonečně mnoha bodech hodnotu 0 a v nekonečně mnoha bodech hodnotu 1. Tato
funkce se uvádí jako nejjednodušší příklad funkce nespojité v každém bodě.
|
Kombinace funkcí
 PŘÍKLAD:
načrtněte graf funkce y=sign(x).abs(x)
Protože je
signum pro x>0 rovno 1, graf funkce abs(x) se pro x>0 nezmění. Pro x=0 je
jak sign(x), tak abs(x) =0, takže i jejich součin bude roven nule. Pro x<0
je sign(x)=-1, takže všechny hodnoty funkce abs(x) pro x<0
změní znaménko. Grafem je tedy totožný s grafem funkce y=x
PŘÍKLAD:
načrtněte graf funkce y=sign(x)+abs(x)
Protože je
signum pro x>0 rovno jedné, takže se graf funkce abs(x) se pro x>0 posune o
jedna nahoru. Pro x=0 je jak sign(x), takže graf funkce abs(x) se pro bod
x=0 nezmění. Pro x<0 je signum rovno -1, proto se levá část grafu abs(x)
posune o jedna dolů.
PŘÍKLAD:
načrtněte graf funkce y=sign(abs(x))
Protože je
signum pro x>0 rovno jedné, takže se graf funkce abs(x) se pro x>0 posune o
jedna nahoru. Pro x=0 je jak sign(x), takže graf funkce abs(x) se pro bod
x=0 nezmění. Pro x<0 je signum rovno -1, proto se levá část grafu abs(x)
posune o jedna dolů.
DŮLEŽITÝ
PŘÍKLAD:načrtněte grafy funkcí y=x^2-x,
y=abs(x^2-x),
y=sign(x^2-x) a
y=abs(sign(x^2-x)).
Graf
funkce y=x^2-x snadno nakreslíme (pokud ne, podívejte se na stránku o
polynomech, případně na materiály kurzu UMAT). Protože pr x mimo
interval <0,1> je nabývá funkce x^2-x kladných hodnot, absolutní hodnota ji
nezmění a signum z ní udělá +1. Pro body x=0 a =-1 je funkce x^2-x=0 proto
ji nezmění ani absolutní hodnota, ani signum. Pro x z intervalu (0,1) je
funkce x^2-x záporná, proto jí absloutní hodnota změní znaménko a signum z
ní udělá hodnotu -1.
|
|
(-¥,0) |
(0,1) |
(1,
¥) |
|
f(x)=x(x-1) |
+ |
- |
+ |
|
abs(f(x)) |
f(x) |
-f(x) |
f(x) |
| sign(f(x)) |
1 |
-1 |
1 |
|
sign(abs(f(x))) |
1 |
1 |
1 |
|
