Grafická podpora kurzu ZMAT1

Derivace funkce f v bodě A

je limita pro C->A výrazu (f(C)-f(A))/(C-A), pokud je konečná.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Protože definice je limitou ze směrnice (tangens) přímky určené obrazy bodů A,C sestrojíme trojúhelník BEF, tak, že |BE|=1 a |BF| je směrnice. Dále sestrojíme sečnu grafu funkce. Na závěr pro ilustraci sestrojíme i tečnu grafu funkce vbodě A.

Pohybujte bodem C směrem k bodu A.  Velikost úsečky EF (tangens sečny) se blíží hledané velikosti úsečky EG (tangens tečny). Vyzkoušejte pro různé polohy bodu A. Sledujte, kdy je vektor EG otočen nahoru a kdy dolů v závislosti na tom, jestli je funkce f rostoucí nebo klesající. Najděte body, ve kterých je |EG|=0.

Derivace funkce f

je funkce označovaná symbolem f'(x), která je v každém bodě A definičního oboru funkce f rovna hodnotě derivace funkce f v tomto bodě A.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Hodnotu derivace v bodě přeneseme zpět nad bod A. Pokud jím budete pohybovat, bude se vykreslovat graf první derivace funkce f.

Zkoumejte, jak souvisí graf derivace  s grafem původní funkce. Co se děje na grafu funkce f, když jeho derivace protíná osu x, nebo když dosahuje lokálního minima, jak se chová poblíž bodu 0.

Druhá derivace funkce

je funkce označovaná symbolem f''(x), která je v každém bodě A definičního oboru funkce f rovna hodnotě derivace z první derivace funkce f v tomto bodě A., tedy v každém bodě je určena limitou pro C-> A ze zlomku
(f'(C)-f'(A))/(C-A).

Protože z definice druhé derivace plyne, že v bodě A je směrnicí tečny k derivaci funkce f v bodě A, je  sestrojení grafu druhé derivace zřejmé z následujícího obrázku
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Derivace elementárních funkcí

1. (x^n)'= n x^(n-1)

2. (e^x)'= e^x

3. (a^x)'= ln(a) e^x

4. (ln(x))'= 1/x

5. (sin(x))'= cos(x)

6. (cos(x))'= - sin(x)

Linearita derivace

(f +c. g)'=f'+c. g'; kde f,g jsou funkce, c je reálná konstanta.

Derivace operací s funkcemi f,g

1. (f - g)'=f'- g'

2. (f g)'=f'g+ f g'

3. (f /g)'=(f'g-f g')/(g^2)

4. (f(g))'=f'(g) g'

PŘÍKLAD: zkoumejte grafy funkce
(x-1)^3-(x-1)+1
a jeho  první a druhé derivace. Graf funkce je nakreslen modře, první derivace zeleně a druhá derivace červeně. Pohybujte bodem A a zkoumejte, jak směrnice tečny souvisí s tím, kde je první derivace kladná a kde záporná. Povšimněte si tvaru tečny v případech, kdy první derivace protíná osu x. Zkoumejte, jak souvisí konvexnost (graf se v blízkém okolí nachází nad tečnou) a konkávnost (graf se v blízkém okolí bodu A nachází nad tečnou) se znaménkem druhá derivace. Zjistěte, jak vypadá první derivace v bodě, kde druhá derivace protíná osu x.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

PŘÍKLAD: zkoumejte grafy funkce
x^3(x-1)+0.25. Zkoumejte situace popsané v předchozím příkladu. Zaměřte se na změny, které přináší bod x=0, ve kterém je první derivace rovna 0, ale nemění znaménko.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

První derivace a její vlastnosti

Po předcházejících úlohách shrneme vyzkoumané vlastnosti:

1. derivace je kladná -> funkce je rostoucí

2. derivace je záporná -> funkce je klesající

3. derivace je rovná nule -> stacionární bod, může v něm být lokální extrém (maximum nebo minimum), ale nemusí.

4. derivace neexistuje -> bod nespojitosti nebo zlom,  může tam být extrém

Na obrázku graf funkce y=sign(x).x.(x+2)^2+0.5 vyznačen modře, jeho derivace vyznačena zeleně. Všimněte si bodu O, ve kterém není derivace definována (protož musí být konečná) a původní funkce f v něm má zlom.

Světle modře jsou vyznačeny body, ve kterých má f extrémy, červeně kde má inflexní bod. Bod L ačkoli se v něm mění funkce z konkávní na konvexní se za infelxní bod nepovažuje. Pohybujte modrým bodem A a zkoumejte sklon tečny, hodnotu derivace a tvar funkce f.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Druhá derivace a její vlastnosti

1. druhá derivace je kladná -> funkce je konvexní

2. druhá derivace je záporná -> funkce je konkávní

3. druhá derivace je rovná nule -> inflexní bod. Může se v něm měnit konkávnost a konvexnost funkce, ale nemusí.

4. druhá derivace neexistuje -> bod nespojitosti, zlom nebo bod ve kterém má první derivace zlom

Na obrázku je graf funkce y=|x|x(x-1)-1 modře, graf první derivace zeleně a graf druhé derivace červeně. Zkoumejte body, ve kterých je druhá derivace rovná nule a ve kterých neexistuje (bod 0, ve kterém je druhá derivace nespojitá) Pohybujte bodem H a sledujte, jak se mění tečna
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Otestujte se

1. Jak je definována první derivace ?

2. Určete derivaci funkce f(x)=x^4-x^2 a rozhodněte, kdy je f(x) rostoucí a kdy klesající !

3. Určete stacionární body funkce y=x^3-x^4 a rozhodněte, zda je v nich lokální maximum, minimum nebo není !

4. Určete vrchol paraboly čtvrtého stupně
   y= x^4-8x^3+8x^2+32x+15 !

K zamyšlení

1. Lze odhadnout graf funkce pokud víme, že jeho derivace je y=x^2-1 ?

2. Jaký je graf funkce, jejíž derivace je y=exp(x) ?

3. Načrtněte graf funkce, jejíž derivace je y=ln(x) !

4. Načrtněte graf derivace funkce y=|x| !

5. Načrtněte graf derivace funkce y=sign(x) !

6. Jak vypadá graf funkce, jejíž derivací je y=sign(x) ?