Grafická podpora kurzu ZMAT1

Zobrazení, vzor, obraz
transformace
zobrazení prosté
zobrazení vzájemně jednoznačné
zobrazení inverzní
zobrazení složené

Zobrazení Z

je taková relace množin A,B taková, že  pro kterou pro jeden prvek a množiny A existuje nejvýše jeden prvek b množiny B takový, že [a,b] je prvkem Z. Zobrazení se většinou zapisuje výrazem Z: A® B, skutečnost že se konkrétní prvek a zobrazí na konkrétní prvek b zapisujeme jako Z: a® b, a®Z(a) nebo pouze b=Z(a). Prvek a se nazývá vzor, prvek b obraz.

Transformace

Zobrazení Z: A®A  množiny A do té samé množiny A se nazývá transformace. Jinými slovy definiční obor i obor hodnot jsou podmnožinou téže množiny A

Příklady zobrazení

1. kvadratická funkce je zobrazení z R do R Z: R®R definované předpisem   x®x^2,

2. exponenciální funkce je zobrazení z R do (0,nekonečno) definované předpisem   x® e^x,

3. funkce arctg je zobrazení z R do (-1,1) definované předpisem   x® arctg(x),

4. zmenšení obrázku je zobrazení z roviny do roviny Z: R^2®R^2  definované předpisem [x,y]®[x/2,y/2],

5. půdorys bytu v měřítku 1:100 je zobrazení z prostoru do roviny Z:R^3® R^2 definované předpisem [x,y,z]®[x/100,y/100]

6. prostorová křivka šroubovice známá ze závitů na šroubech nebo z točitých schodů je zobrazení z R do prostoru Z:R® R^3 definované vztahem x® [sin(x), cos(x), x]

7. zobrazení + které dvěma číslům přiřadí jejich součet, tedy zobrazení Z: R^2® R definované předpisem [x,y]® x+y,

Vlastnosti zobrazení

Protože je zobrazení speciálním případem relace, může mít také všechny její vlastnosti. Jinými slovy  víme, co je definiční obor zobrazení, obor hodnot zobrazení, co je zobrazení tranzitivní, reflexivní, symetrické nebo antisymetrické (pokud nevíte, připomeňte si definice v kapitole Relace). K těmto již definovaným vlastnostem přibudou další čtyři velmi důležité vlastnosti:

1. Zobrazení se nazývá prosté právě tehdy, když  pro každý prvek b z množiny B existuje nejvýše jeden prvek a z množiny A takový,  že Z: a® b.

2. Zobrazení T se nazývá inverzní k zobrazení Z právě tehdy, když platí: T: b ® a právě tehdy, když Z: a ® b. Inverzní zobrazení se značí symbolem Z^(-1).

3. Zobrazení se nazývá vzájemně jednoznačné právě tehdy, když pro každý prvek a z A existuje právě jeden prvek b z B a pro každý prvek b z B existuje právě jeden prvek a z A takový, že Z: a® b.

4. Zobrazení Z se nazývá složené zobrazení T a U právě tehdy, když T: A® B, U: B® C a Z: A® C takové, že Z(a)=U(T(a)) platí pro každé a z množiny A. Složené zobrazení zapisujeme jako Z=U(T), nebo Z=U•T.

Poznámky k vlastnostem

Ke každému zobrazení Z existuje inverzní relace R. Aby tato relace byla také zobrazení, musí být zobrazení Z prosté. Jinými slovy inverzní zobrazení existuje pouze pro zobrazení prostá.

Zobrazení vzájemně jednoznačné je takové, které zobrazuje "stejně velké množiny" jednu na druhou. Vzájemně jednoznačné zobrazení je samozřejmě prosté.

Složené zobrazení Z=U•T definuje "zkratku" jak se z A dostat do C přímo a ne pomocí zobrazení T nejdříve do B a pak pomocí zobrazení U z B do C.

Příklady vlastností zobrazení

1. zobrazení  x®x^2 zobrazující  R® <0,nekonečno) není prosté, tudíž k němu neexistuje zobrazení inverzní

2. zobrazení  x® e^x zobrazující  R® (0,nekonečno)  je vzájemně jednoznačné a tudíž k němu existuje inverzní (logaritmus)

3. zobrazení  x® arctg(x)  zobrazující  R® (-1,1)  je vzájemně jednoznačné a tudíž k němu existuje inverzní (základní větev funkce tg)

4. zmenšení obrázku je zobrazení z roviny do roviny je zobrazení vzájemně jednoznačné, existuje k němu inverzní (zvětšení)

5. půdorys bytu v měřítku 1:100 není zobrazení prosté, tudíž k němu neexistuje zobrazení inverzní

6. prostorová křivka šroubovice je zobrazení prosté, tudíž k němu existuje zobrazení inverzní. Ale nejedná se o zobrazení vzájemně jednoznačné.

7. zobrazení + není zobrazení prosté, tudíž k němu existuje pouze inverzní relace. Tato relace každému prvku a přiřazuje všechny body [x,y] takové, že x+y=a, tedy celou přímku definovanou touto rovnicí.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now) Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Zobrazení na obrázku vlevo není prosté, protože pro jedno b (modrý bod) existují dvě a (červené body) taková, že a®b. Na obrázku vpravo je zobrazení prosté.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

(zdroj appletu - internet) Pohybem s modrými šipkami získáváte různá zobrazení z roviny do roviny.  Pokud jeden červený vektor bude nulový, nebo pokud budou oba ležet na jedné přímce, dostáváme zobrazení, které není prosté. Ve všech ostatních případech se jedná o prostá zobrazení.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Zobrazení z prostoru do roviny - půdorys. Body K a P se zobrazí do téhož bodu, proto se nejedná o prosté zobrazení.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Na tomto obrázku je vidět šipkové znázornění relace mezi množinou {A,B,C,D} a množinou {E,F,G,H}. Pokud použijeme pouze plné šipky, jedná se o zobrazení. Pokud k nim přidáme čárkovanou AF, nejedná se již o zobrazení ale pouze o relaci (pro jeden vzor je více obrazů). Pokud k plným šipkám přidá tečkovaná šipka, bude se jednat o zobrazení ale nebude prosté (jeden obraz má více vzorů). Pokud se k plným šipkám přidá čerchovaná,  bude se jednat o zobrazení, které je vzájemně jednoznačné (je prosté a jsou pokryty obě množiny).

Otestujte se

1. Co je zobrazení?

2. Co je definičním oborem zobrazení?

3. Co je zobrazení prosté?

4. Ke kterým zobrazením existuje inverzní relace? A ke kterým inverzní zobrazení?

5. Je zobrazení definované předpisem x® 3x+2 prosté?

6. Existuje inverzní zobrazení k zobrazení x® 3?

7. Je zobrazení x® log(x) prosté?

K zamyšlení

1. Lze nalézt prosté zobrazení mezi R a R^2?

2. Pokud ano, bude se jednat o zobrazení vzájemně jednoznačné?

3. Je relace "být bratrem" zobrazením? Je jím relace "být dcerou"? Míní se, že Z:A® B právě tehdy, když A je bratrem (dcerou)  B

4. Rozmyslete si, jaké podmínky musí být splněny při znázornění relací šipkami, aby daná relace byla  zobrazení, zobrazení prosté a zobrazení vzájemně jednoznačné.