Grafická podpora kurzu ZMAT1

Reálná (resp. komplexní) funkce

je zobrazení z množiny A do množiny R (resp. C), kde R je množina reálných čísel (resp. C je množina komplexních čísel). Zapisuje se f(x)=x^2+4, f(x): y=x^2+4, f: y=x^2+4, y=f(x) nebo pouze y=x^2+4.

Reálná funkce jedné reálné proměnné

je funkce, ve které množina A je podmnožinou reálných čísel.

poznámka: v následujícím textu budeme pod pojmem funkce rozumět reálnou funkci reálnou funkci jedné reálné proměnné.

Příklady reálných funkcí

1. polynom y=x^4-3x+1,

2. exponenciela, y= exp(3x-1),

3. arkustangens, y=arctg(x),

4. absolutní hodnota, y=|x|,

5. identita, y=x.

Grafem reálné funkce rozumíme znázornění uspořádaných dvojic [x,y] v rovině, kde y=f(x)

Lineární funkce

lineární funkce je funkce ve tvaru y=ax+b, kde a, b jsou reálné koeficienty. Pokud je a=0, pak takovou funkci nazýváme konstantní.  Grafem lineární funkce je vždy přímka.

Funkce lineární lomená

funkce lineární lomená je taková funkce ve tvaru y=(ax+b)/(cx+d). Pokud c  je různé od nuly, je grafem takovéto funkce hyperbola

Polynom

je taková funkce, ve které se vyskytují mocniny čísla x vynásobené konstantou a sečtené. Matematicky zapisujeme polynom ve tvaru
P(x)=a_n x^n+...+a₁ x+a₂ x^2+a₃ x^3+a₀

Příklady polynomů

1. konstatní funkce, y=4,

2. lineární funkce, y=2x+4

3. kvadratická funkce, y=3x^2+2x-1,

4. y=x^3-x^2,

5. y=2x^4-3x^3+1,

6. y=2x^7-3x^3.

Změny grafu funkce f(x)

1. Graf se otočí podle osy y, pokud každé x zaměníme za (-x). Matematicky vyjadřujeme tuto změnu výrazem y=f(-x).

2. Graf se otočí podle osy x, pokud před vyjádření vložíme znaménko -.  Matematicky vyjadřujeme tuto změnu výrazem y=-f(x).

3. Graf se posune o a nahoru, pokud k celému vyjádření přičteme a.  Matematicky vyjadřujeme tuto změnu výrazem y=f(x)+a.

4. Graf se posune o a doprava, pokud od každého x odečteme a.  Matematicky vyjadřujeme tuto změnu výrazem y=f(x-a).

5. Část grafu pod osou x se otočí nahoru, pokud celý výraz vložíme do absolutní hodnoty. Matematicky vyjadřujeme tuto změnu výrazem y=|f(x).|.

6. Část grafu napravo od osy y se zrcadlově přenese doleva, pokud každé x vložíme do absolutní hodnoty. Matematicky vyjadřujeme tuto změnu výrazem y=f(|x|). 

V následujících obrázcích vidíte v prvním  funkci a změny jejího grafu při použití popsaných úprav

 

Výchozí funkce f(x)=x^2-x Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
Funkce otočená podle osy y f(-x)=(-x)^2-(-x)=x^2+x Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)	Funkce otočená podle osy x -f(x)=-(x^2-x)= - x^2+x Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
Funkce posunutá nahoru f(x)+a   Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)	Funkce posunutá doleva  f(x+a) Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
Funkce v absolutní hodnotě |f(x)|   Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)	x v absolutní hodnotě f(|x|). Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Součet funkcí, násobení funkcí

1. Pokud sečteme dvě funkce, sečtou se funkční hodnoty pro každé přípustné x.

2. Pokud vynásobíme dvě funkce, vynásobí se jejich funkční hodnoty pro všechna přípustná x.

Další vlastnosti funkcí

Protože funkce je speciálním případem zobrazení, přejímá také vlastnosti zobrazení. Můžeme tedy mluvit o funkci složené,  prosté, vzájemně jednoznačné a inverzní .

V levém appletu je lineární funkce y= a x + b. Pozorujte změnu grafu pro a kladné a záporné. V pravém  je funkce lineární lomená.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now) Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Grafy funkcí polynomických, třetího a čtvrtého stupně (nejvyšší mocnina x),
y=ax^3+bx^2+cx+d,
y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e. 
Pozorujte rozdíly mezi grafy

1. v krajních bodech (v první jdou jeden nahoru a jeden dolu, ve druhé jdou stejným směrem),

2. v počtu možných "hrbů"(první může mít nejvýše jeden, druhý nejvýše dva),

3. v počtu možných průsečíků s osou x (první může mít nejvýše tři ,druhý nejvýše čtyři),

4. při změny grafu pro a kladné a záporné.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Součet a součin funkcí

Mějme funkce f: y=x/2+1 a funkci g: y=sin(x). Sestrojme funkce f+g tak, že úsečku AB naneseme nahoru od bodu C (sečteme funkční hodnoty)
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Mějme funkce f: y=sin(x) a funkci g: y=x/2+1. Sestrojme funkce f.g tak, že délkou AB vynásobíme hodnotu AC. Nejlépe je to vidět, pokud AB je rovno nule, jedné nebo mínus jedné.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Funkce složená

Použijme turistickou terminologii:
1/ Z bodu A vyrazíme po žluté na funkci f
2/ dále po žluté z funkce f na osu y do bodu J
3/ po černé pak po černé z osy y na osu x J´
4/ po modré na funkci g
5/ dále po modré na osu y do cílového bodu H
Je však kratší vyjít z A po modré do K a poté po žluté do bodu H
Všechny zelené body, tedy průsečíky svislých žlutých a vodorovných modrých leží na složené funkci g(f(x))
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Otestujte se

1. Co je grafem funkce y=3x-5?

2. Je funkce y=-2x+5 rostoucí?

3. Jak vypadá graf funkce y=1/x?

4. Jak vypadají grafy funkcí y=1/|x|, y= -1/x, y=1/x+3, y=1/(x-2)?

5. Načrtněte graf funkce y=x^2-x !

6. Načrtněte graf funkce y=exp(x)-x !

7. Nečrtněte graf funkce y=ln(x) + sin(x) !

8. Určete definiční obor funkce y=ln(x)+exp(x)

K zamyšlení

1. Načrtněte graf funkce y=x^4-x^2 (zjistěte  pomocí grafu polynomu čtvrtého stupně)

2. Zkuste odhadnout graf funkce y=x^5-x^3 !

3. Zkuste odhadnout graf funkce y=x^2 . exp(-x) !

4. Zkuste odhadnout graf funkce y=exp(x)+ln(x)