Grafická podpora kurzu ZMAT1

Zpět Domů Další

Relace
Zobrazení
Funkce
Polynomy
Transcendentní funkce
Signum
Derivace

Transcendentní funkce

Mezi transcendentní funkce se řadí funkce sin, cos, tg, cotg, exp, log, případně další, které nejdou vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Protože se jedná o funkce dostatečně probírané na středních školách, je na této stránce pouze stručný přehled rozšířený o funkce inverzní k funkcím sin, cos a tg
exponenciální funkce
logaritmická funkce
goniometrické funkce
cyklometrické funkce

Funkce exponenciální

je je funkce tvaru y=a^x, kde a je číslo z množiny (0,1) È (1,¥).

Věty:

Pro všechna přípustná a,b,c,x platí:

  1. x^0=1, x^1=x,

  2. x^(-a)=1/(x^a)

  3. x^(1/a)=sqrt[a](x)

  4. a^x.b^x=(a.b)^x,

  5. x^a.x^b=x^(a+b),

  6. (x^a)^b=x^(a.b).

Funkce logaritmická

inverzní funkce k funkci exponenciální je funkce logaritmická:

y=a^x  y=log[a]x.

Protože a^x je vždy kladné, musí pro  log[a]x být x vždy kladné.

Symbolem log x označujeme logaritmus při základu 10, symbolem ln x přirozený logaritmus.

Funkce goniometrické

Grafické znázornění v druhém sloupci. Základní věty:

Pro všechna přípustná a,b platí:

  1. tg(a)=sin(a)/cos(a)

  2. sin^2(a)+cos^2(a)=1

  3. sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

  4. sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)

  5. sin(2a)=2sin(a)cos(a)

  6. cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

  7. cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

  8. cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)

Funkce cyklometrické

Arkussinus

Funkce sinus není na svém definičním oboru prostá, proto k ní neexistuje funkce inverzní. Z definičního oboru však lze vybrat podmnožinu takovou, na které je prostá. Pro definování funkce inverzní se vybere interval <-pi/2,pi/2> na kterém je sin prostý, a na tomto intervalu sestrojíme funkci inverzní: Nová funkce se nazývá arkussinus a značí arcsin(x), na kalkulačkách sin^(-1). Její definiční obor je interval <-1,1> a obor hodnot <-pi/2,pi/2>.

Arkuskosinus

Podobně jako funkce sin, ani funkce cos není na svém definičním oboru prostá, proto k ní neexistuje funkce inverzní. Z definičního oboru však lze vybrat podmnožinu takovou, na které je prostá. Pro definování funkce inverzní se vybere interval <0,pi> na kterém je cos prostý, a na tomto intervalu sestrojíme funkci inverzní: Nová funkce se nazývá arkuskosinus a značí arccos(x), na kalkulačkách cos^(-1). Její definiční obor je interval <-1,1> a obor hodnot <0,pi>.

Arkustangens

Podobně jako předcházející dvě, není ani funkce tangens na  svém definičním oboru prostá, proto k ní neexistuje funkce inverzní. Z definičního oboru však lze vybrat podmnožinu takovou, na které je prostá. Pro definování funkce inverzní se vybere interval <-pi/2,pi/2> na kterém je tg prostý, a na tomto intervalu sestrojíme funkci inverzní: Nová funkce se nazývá arkustangens a značí arctg(x), na kalkulačkách tan^(-1). Její definiční obor je R a obor hodnot <-pi/2,pi/2>.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now) Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

V appletu jsou znázorněny funkce y=e^(ax) a k ní inverzní y=(log(x))/a

Protože obor hodnot exponenciely je (0,¥), je definiční obor logaritmu právě (0,¥)

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

V kterémkoli kroku zkuste pohybovat modrým bodem!

V appletu vidíte, jak sestrojit grafy funkcí sin, cos a tg. Na jednotkovou  kružnici vyneseme úhel EOA a délku tohoto oblouku (žlutě)  naneseme na osu x (úsečka OG). Protože přepona AO pravoúhlého trojúhelníku AOC má délku 1 lze snadno zjistit, že AC je sin(α) a OC je cos(α).  V pravoúhlém trojúhelníku OEF má odvěsna OE délku 1, proto EF je tg(α).

V bodě G vztyčíme kolmici k ose x a tyto hodnoty na ni naneseme. Výsledné body leží na grafu funkcí, které obloukové míře každého úhlu přiřadí po řadě sin, cos a tg.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now) V Modře čárkovaně jsou vyznačeny funkce goniometrické, modře silně jejich omezení pro vytvoření funkce inverzní a zeleně jsou vyznačeny funkce arcsin, arccos a arctg.

 

 

Otestujte se

  1. Jaká je inverzní funkce k logaritmu?

  2. Jaký je definiční obor exponenciální funkce?

  3. Jaký je definiční obor logaritmické funkce?

  4. Jaký je definiční obor hodnot funkce arcsin?

  5. Je funkce arccos rostoucí?

  6. Je funkce arctg prostá?

 

K zamyšlení

  1. Jak vypadá funkce e^(log(x))? Pozor na definiční obory!

  2. Liší se funkce sin(arcsin(x)) a arcsin(sin(x))?

  3. Liší se funkce tg(arctg(x)) a arctg(tg(x))?

 

 

Ovládání GeoGebry

kolečko myši + ctrl = zoom

levé tlačítko myši + ctrl = posun obrazu

zvýrazněnými body lze pohybovat

Konstrukci lze zopakovat pomocí ovládání v dolní části appletu

Použité matematické symboly

^ = umocnítko. Tedy p na druhou zapisujeme jako p^2

sqrt(x) = druhá odmocnina z x (square root)

sqrt[a](x) = a-tá odmocnina z x (square root)

log[a]x = logaritmus při základu a z čísla x

[a,b] uspořádaná dvojice

<a,b>  uzavřený interval

(a,b) otevřený interval

 

Jiří Haviger, 10.7.2007, Applety vytvořeny programem GeoGebra