|
Funkce exponenciální
je je funkce tvaru y=a^x, kde a je číslo z množiny
(0,1) È (1,¥).
Věty:
Pro všechna přípustná a,b,c,x platí:
-
x^0=1,
x^1=x,
-
x^(-a)=1/(x^a)
-
x^(1/a)=sqrt[a](x)
-
a^x.b^x=(a.b)^x,
-
x^a.x^b=x^(a+b),
-
(x^a)^b=x^(a.b).
Funkce logaritmická
inverzní funkce k funkci exponenciální je funkce
logaritmická:
y=a^x y=log[a]x.
Protože a^x je vždy kladné, musí pro log[a]x být
x vždy kladné.
Symbolem log x označujeme logaritmus při základu 10,
symbolem ln x přirozený logaritmus.
Funkce goniometrické
Grafické znázornění v druhém sloupci. Základní věty:
Pro
všechna přípustná a,b platí:
-
tg(a)=sin(a)/cos(a)
-
sin^2(a)+cos^2(a)=1
-
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)
-
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)
-
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
-
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
-
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
-
cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)
Funkce
cyklometrické
Arkussinus
Funkce sinus není na svém definičním oboru prostá,
proto k ní neexistuje funkce inverzní. Z definičního oboru však lze vybrat
podmnožinu takovou, na které je prostá. Pro definování funkce inverzní se
vybere interval <-pi/2,pi/2> na kterém je sin prostý, a na tomto intervalu
sestrojíme funkci inverzní: Nová funkce se nazývá
arkussinus a značí arcsin(x),
na kalkulačkách sin^(-1). Její definiční obor je interval <-1,1> a obor
hodnot <-pi/2,pi/2>.
Arkuskosinus
Podobně jako funkce sin, ani funkce cos není na svém
definičním oboru prostá, proto k ní neexistuje funkce inverzní. Z
definičního oboru však lze vybrat podmnožinu takovou, na které je prostá.
Pro definování funkce inverzní se vybere interval <0,pi> na kterém je cos
prostý, a na tomto intervalu sestrojíme funkci inverzní: Nová funkce se
nazývá arkuskosinus a značí
arccos(x), na kalkulačkách cos^(-1).
Její definiční obor je interval <-1,1> a obor hodnot <0,pi>.
Arkustangens
Podobně jako předcházející dvě, není ani funkce tangens
na svém definičním oboru prostá, proto k ní neexistuje funkce
inverzní. Z definičního oboru však lze vybrat podmnožinu takovou, na které
je prostá. Pro definování funkce inverzní se vybere interval <-pi/2,pi/2> na
kterém je tg prostý, a na tomto intervalu sestrojíme funkci inverzní: Nová
funkce se nazývá arkustangens a značí
arctg(x), na kalkulačkách tan^(-1). Její
definiční obor je R a obor hodnot <-pi/2,pi/2>. |
V appletu
jsou znázorněny funkce y=e^(ax) a k ní inverzní y=(log(x))/a
Protože
obor hodnot exponenciely je (0,¥),
je definiční obor logaritmu právě (0,¥)
V kterémkoli kroku zkuste pohybovat modrým bodem!
V appletu vidíte, jak sestrojit grafy funkcí sin, cos a tg.
Na jednotkovou kružnici vyneseme úhel EOA a délku tohoto oblouku (žlutě)
naneseme na osu x (úsečka OG). Protože přepona AO pravoúhlého trojúhelníku AOC
má délku 1 lze snadno zjistit, že AC je sin(α) a OC je cos(α). V
pravoúhlém trojúhelníku OEF má odvěsna OE délku 1, proto EF je tg(α).
V bodě G vztyčíme kolmici k ose x a tyto hodnoty na ni
naneseme. Výsledné body leží na grafu funkcí, které obloukové míře každého úhlu
přiřadí po řadě sin, cos a tg.
V Modře čárkovaně jsou vyznačeny funkce
goniometrické, modře silně jejich omezení pro vytvoření funkce inverzní a zeleně
jsou vyznačeny funkce arcsin, arccos a arctg. |
