Grafická podpora kurzu ZMAT1

kartézský součin množin
relace
definiční obor
obor hodnot
relace inverzní
relace reflexivní, tranzitivní, symetrická, antisymetrická
uspořádání, ekvivalence

Kartézský součin množin A, B

je množina všech uspořádaných dvojic [a,b] takových, že a je prvkem A a b je prvkem B.

Relace R

je podmnožinou kartézského součinu množin. Je to tedy množina, jejíž prvky jsou uspořádané dvojice [a,b], kde a je prvek množiny A a b je prvek množiny B. Relace se velmi často zapisuje ve tvaru aRb, pokud prvek [a,b] leží v relaci R. Množina A se nazývá definiční obor relace R, množina B její obor hodnot.  Pokud je B=A, tedy pokud relace definována mezi prvky téže množiny říkáme, že R je definována na množině A.

Příklady relací

1. relace menší než, tedy a<b. Grafem je polorovina "pod" přímkou y=x.

2. relace definovaná vztahem a^2+(b+1)^2 =1. Grafem je kružnice se středem S[0,-1] a poloměrem 1.

3. relace podobnosti na množině trojúhelníků v rovině

4. relace y=sin(x), tedy funkce sinus. Grafem je známá sinusovka.

5. Relace být příbuzný ve skupině lidí. V relaci jsou ti, kteří jsou příbuzní.

6. Relace pokrytí mezi jednotlivými vysílači TV signálu. V relaci jsou ty, jejichž dosahy se dotýkají, případně překrývají. (Pokud se vyskytne vysílač který není v relaci s žádným jiným, pak je potřeba přidat vysílač nebo zesílit výkon jiných)

7. Relace být majitelem mezi množinou aut a množinou lidí, kteří vlastní auto.

Inverzní relace

k relaci R je relace S taková, jejíž prvky jsou právě všechny uspořádané dvojice [b,a] takové, že [a,b] leží  v relaci R.
Stručně zapsáno bSa právě tehdy když aRb. Z definice je zřejmé, že definiční obor relace R je oborem hodnot relace S a obor hodnot relace R je definičním oborem relace R

Pokud množiny A,B budou intervaly, můžeme relace znázornit jako podmnožinu obdélníku,  určeného krajními body obou intervalů.

Vlastnosti relací

1. Relace se nazývá reflexivní právě tehdy, když platí: aRa pro všechna přípustná a

2. Relace se nazývá tranzitivní právě tehdy, když platí: jestliže aRb a bRc, pak aRc pro všechna přípustná a,b,c.

3. Relace se nazývá symetrická právě tehdy, když platí: aRb právě tehdy, když bRa pro všechna přípustná a, b

4. Relace se nazývá antisymetrická právě tehdy, když platí: jestliže aRb a bRa, pak a=b. pro všechna přípustná a, b

Příklady vlastností relací

1. relace menší nebo rovno , je relací reflexivní, tranzitivní a antisymetrickou. Takovéto relace se nazývají uspořádání.

2. relace podobnost trojúhelníků je relací reflexivní, symetrickou a tranzitivní. Takovéto relace se nazývají ekvivalence.

3. relace definovaná vztahem a^2+(b+1)^2 =1 nemá žádnou z uvedených vlastností podobně jako relace y=sin(x)

4. Relace být příbuzný je symetrická, tranzitivní (pokud příbuzný bude pokrevní) a reflexivní

5. Relace pokrytí mezi vysílači je relací symetrickou.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

V appletu je znázorněná relace R: (D-C)(x-A)<(B-A)(y-C), kde A,B,C,D jsou parametry (tedy konstanty). Postupně je zkonstruována relace inverzní k R.

Taktéž je zdůrazněno prohození definičního oboru a oboru hodnot mezi relací původní a inverzní

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now) Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

V obrázku vlevo je ukázka relace, která je reflexivní (všechna přípustná x patří bod [x,x] do relace) a symetrická (souměrnost podle osy y=x).

V obrázku vpravo lze vidět relaci symetrickou, která není reflexivní (například [1,1] nepatří do relace, ačkoli prvek 1 patří do jejího definičního oboru)

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

V posledním obrázku je vidět jiné grafické znázornění relací vhodné například pro znázornění příbuzenských relací, které se hojně využívá v úlohách teorie grafů a diskrétní matematiky. Zde je ukázka  pro šesti-prvkovou množinu. Například šipka z E do C značí, že [E,C] je v relaci. Protože některá spojení jsou jednostranná, nejedná se o relaci symetrickou. Protože nevedou šipky např. z bodu A zpět do bodu A, nejedná se ani o relaci reflexivní.

Otestujte se

1. Co je relace?

2. Co je definičním oborem relace?

3. Co je inverzní relace?

4. Jaký je vztah mezi definičním oborem relace a oborem hodnot relace inverzní?

5. Je relace pouze matematický pojem?

6. Jaké vlastnosti má relace x^2+2y^2=1?

7. Jaké vlastnosti má relace y>x^2

8. Jaké vlastnosti má relace být bratrem, definovaná tak, že [A,B] je v relaci, pokud B je bratrem A?

K zamyšlení

1. Lze relaci mezi R^2 a R definovat pomocí rovnice
    z^2-xy<0, kde x,y,z jsou reálná čísla? Lze takto definovat relaci mezi R a R^2? Pokud ano, jedná se o tutéž relaci nebo o dvě různé?

2. Mějme databázi se dvěma tabulkami, tabulka výrobců jednotlivých produktů a tabulka výrobků. Je relací vztah mezi jedním dodavatelem a skupinou výrobků, které dodává? Je relací  vztah mezi jedním druhem výrobku a skupinou dodavatelů, kteří jej dodávají?

3. Existuje relace, která je shodná s inverzní relací?

4. Rozmyslete si, jak při znázornění relací šipkami bude vypadat relace tranzitivní