|
Polynomy
Tato stránka obsahuje několik příkladů toho, jak při
použití metody nulových bodů lze odhadnout průběh funkce. Pro polynomy
nulový bod znamená místo, kde funkce protíná osu x nebo se jí dotýká. Vždy
závisí pouze na stupni výrazu, ve kterém se příslušný nulový od vyskytuje.
Například pro (x-1),x^5 nebo (x+2)^3, které mají liché mocniny, bude
funkce osu x protínat. Naopak pro (x+2)^4 nebo x^2 se funkce ,
pravé funkce lomené, tedy zlomek s polynomem v čitateli i jmenovateli.
 PŘÍKLAD:
načrtněte graf funkce y=x^3-x!
ŘEŠENÍ: rozložíme výraz na pravé straně do tvaru
y=x(x+1)(x-1) a sestavíme tabulku
TABULKA:
|
|
-∞, -1 |
-1,0 |
0,1 |
1,∞ |
|
x |
- |
- |
+ |
+ |
|
x+1 |
- |
+ |
+ |
+ |
|
x-1 |
- |
- |
- |
+ |
|
x^3-x |
- |
+ |
- |
+ |
Porovnejte poslední řádek tabulky s grafem a zkoumejte,
kdy je graf nad osou x a kdy pod osou x
GRAF:
PŘÍKLAD:
načrtněte graf funkce y=x^2-x^3!
ŘEŠENÍ: rozložíme výraz na pravé straně do tvaru
y=x^2(1-x) a sestavíme tabulku
|
|
-∞, 0 |
0,1 |
1,∞ |
|
x^2 |
+ |
+ |
+ |
|
1-x |
+ |
+ |
- |
|
x^2-x^3 |
+ |
+ |
- |
Porovnejte poslední řádek tabulky s grafem a zkoumejte,
kdy je graf nad osou x a kdy pod osou x
PŘÍKLAD:
načrtněte graf funkce
y=x^4-2x^3+x^2!
ŘEŠENÍ: rozložíme výraz na pravé straně do tvaru
y=x^2(x-1)^2 a sestavíme tabulku
|
|
-∞, 0 |
0,1 |
1,∞ |
|
x^2 |
+ |
+ |
+ |
|
(x-1)^2 |
+ |
+ |
+ |
|
x^4-2x^3+x^2 |
+ |
+ |
+ |
Porovnejte poslední řádek tabulky s grafem a zkoumejte
okolí bodů 0 a 1
PŘÍKLAD:
načrtněte graf funkce y=x^4-x^3!
ŘEŠENÍ: rozložíme výraz na pravé straně do tvaru
y=x^3(x-1) a sestavíme tabulku
|
|
-∞, 0 |
0,1 |
1,∞ |
|
x^3 |
- |
+ |
+ |
|
(x-1) |
- |
- |
+ |
|
x^4-x^3 |
+ |
- |
+ |
Porovnejte poslední řádek tabulky s grafem a zkoumejte
okolí bodů 0 a 1. V okolí bodu 0 si funkce "dosedne" a poté překročí osu x,
v bodě 1 ne. To je způsobeno rozdílem mocnin u obou výrazů. Pokud má výraz
mocninu 3, 5, 7 nebo vyšší lichou, pak se v nulovém bodě tohoto výrazu
funkce chová podobně jako v bodě 0. Pouze pro první mocninu je průběh
podobný jako v bodě 1.
PŘÍKLAD:
načrtněte graf funkce y=x^4-x^2!
ŘEŠENÍ: rozložíme výraz na pravé straně do tvaru
y=x^2(x-1)(x+1) a sestavíme tabulku
|
|
-∞, -1 |
-1,0 |
0,1 |
1,∞ |
|
x^2 |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
(x-1) |
- |
- |
- |
+ |
|
(x+1) |
- |
+ |
+ |
+ |
|
x^4-x^3 |
+ |
- |
- |
+ |
Porovnejte poslední řádek tabulky s grafem a zaměřte se
na okolí bodu 0
|
Výrazy lomené
Výrazy lomené rozšiřují oblast uplatnění metody nulových
bodů. Je potřeba si uvědomit, že nulové body výrazů ve jmenovateli nepatří do
definičního oboru funkce. Jako v případě polynomů si všímejte lichých a sudých
mocnin výrazů ve jmenovateli.
POZNÁMKA v některých případech jsou při zobrazení grafu
funkce vynásobeny kladnou konstantou (např. jednou desetinou), která nemá
vliv na to, zda je funkce nad nebo pod osou, ale umožní její lepší grafické
znázornění
PŘÍKLAD:
načrtněte graf funkce
f(x): y=1/(x^3-x) !
ŘEŠENÍ: rozložíme výraz ve jmenovateli do tvaru
y=x^2(x-1) a sestavíme tabulku
|
|
-∞, 0 |
0,1 |
1,∞ |
|
x^2 |
- |
+ |
+ |
|
x-1 |
- |
- |
+ |
|
1/(x^3-x^2) |
- |
- |
+ |
V grafu vidíte tuto funkci 0.1 f(x). Porovnejte
poslední řádek tabulky s grafem a zkoumejte, kdy je graf nad osou x a kdy
pod osou x
PŘÍKLAD:
načrtněte graf funkce y=x^2/(x^2-1)!
ŘEŠENÍ: rozložíme výraz na pravé straně do tvaru
y=x^2/((x+1)(x-1)) a sestavíme tabulku
|
|
-∞, -1 |
-1,0 |
0,1 |
1,∞ |
|
x^2 |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
x+1 |
- |
+ |
+ |
+ |
|
x-1 |
- |
- |
- |
+ |
|
x^2/(x^2-1) |
+ |
- |
- |
+ |
Porovnejte poslední řádek tabulky s grafem a zkoumejte,
kdy je graf nad osou x a kdy pod osou x
DŮLEŽITÝ
PŘÍKLAD: načrtněte graf funkce y=(x^2-1)/(x^2-3x+2)!
ŘEŠENÍ: rozložíme výraz na pravé straně do tvaru
y=(x-1)(x+1)/((x-2)(x-1)) a za podmínky x různé od jedné zkrátíme
y=(x+1)/(x-2). Sestavíme tabulku
|
|
-∞, -1 |
-1,2 |
2,∞ |
|
x+1 |
- |
+ |
+ |
|
x-2 |
- |
- |
+ |
|
(x+1)/(x-2) |
+ |
- |
+ |
Při kreslení grafu nesmíme zapomenout na podmínku, za
které jsme výraz krátili. Zkoumejte okolí bodu 1
DŮLEŽITÝ
PŘÍKLAD: načrtněte graf funkce
y=(x-x^2)/(x^2+4)!
ŘEŠENÍ: rozložíme výraz na pravé straně do tvaru
y=(x(1-x))/(x^2+4) . Výraz ve jmenovateli nejde dále rozložit, jednouchým
pokusem zjistíme, že je pro všechna x reálná kladný. Sestavíme tabulku
|
|
-∞, 0 |
0,1 |
1,∞ |
|
x |
- |
+ |
+ |
|
1-x |
+ |
+ |
- |
|
x^2+4 |
+ |
+ |
+ |
|
(x(1-x))/(x^2+4) |
- |
+ |
- |
Porovnejte poslední řádek tabulky s grafem a zkoumejte,
kdy je graf nad osou x a kdy pod osou x. Výraz ve jmenovateli na toto
rozložení nemá vliv.
PŘÍKLAD:
načrtněte graf funkce y= -7/(x+1)!
ŘEŠENÍ: v tomto případě si musíme dát pozor na znaménko
celého výrazu. Proto raději do tabulky napíšeme i konstantu
|
|
-∞, -1 |
-1,∞ |
|
-7 |
- |
- |
|
x+1 |
- |
+ |
|
-7/(x+1) |
+ |
- |
Porovnejte poslední řádek tabulky s grafem a zkoumejte,
kdy je graf nad osou x a kdy pod osou x
|
